マイナンバーが実際に運用（内閣官房のサイトでは「利用」ですが、ここでは運用としておきます）を開始するのは平成２８年１月１日からです。
本年（平成２７年）の源泉徴収票などではマイナンバーは無関係です。
でも来年（平成２８年）１月１日以降の退職、雇用の際にはマイナンバーの事業主への通知が必要となります。
だから、今年の年末調整（扶養控除等申告書などを出してもらう）のタイミングで従業員さんのマイナンバーを本人確認＆収集して準備を進める事は労使共に手間が省けてメリットだと思います。
１月１日時点の住所等の確認を行う場合の際でも良いですが、特に退職される方が直後にいらっしゃる場合はタイミングが難しいですね。
前提として、マイナンバーの収集（本人から）・保管・利用・提供（他者へ）・廃棄の手段・方法、業務フロー、監査等は別途、良く吟味してくださいね。
ご注意！
期間の定めのある雇用契約で「来年に雇用契約の終了を予定している従業員さん」に対して、上記の各種情報を収集する時は、その雇用期間中の必要の為と明示すべきです。
でないと「契約期間の更新の合理的期待」を抱かれたとしても反論が困難となります。